Слово сверчок состоит из корня и нулевого окончания. Исторически связано с глаголами сверкать, диалектным сверчать 'стрекотать' (о сверчке). Информация доступна здесь.
Да, это общие второстепенные члены для двух частей сложного предложения. Запятая не требуется.
Можно проверить при помощи однокоренного слова - посвЕркивать.
Пунктуация верна.