Правил оформления несобственно-прямой речи в справочниках по русской пунктуации и редактированию текста не приводится. Очевидно, здесь стоит ориентироваться на существующую речевую практику.

Пословица: Каждый сверчок знай свой шесток. А также: Каждый кулик свое болото хвалит.

Слово светило склоняется по типу слов болото и чадо. В дат. падеже у них должно быть окончание -у: попал на прием к светилу медицины.

Выбор предлога зависит от того, как именно упала стрела. Если она погрузилась в трясину (представим, что из болота торчит только кончик стрелы), тогда: упала в болото. Если же стрела аккуратно легла на какую-то кочку на поверхности болота и там осталась, тогда: на болото.

Да, должно быть: звериных логов. Логово склоняется как болото.

Раздельное написание корректно.

Правильно: засосет. В качестве проверочных можно использовать слова засос, соска. Но ни в коем случае не засасывать. Одно из основных правил проверки безударных гласных звучит так: гласные о – а в неударяемых корнях глаголов совершенного вида нельзя проверять формами несовершенного вида.

Нет, такого орфографического правила не существует (и не существовало). О буквосочетаниях -оро- / -оло- (также -ере-, -ело-) говорят применительно к истории языка: подобные сочетания – признак русских слов, в то время как сочетания -ра-, -ла-, -ре-, -ле- – признак старославянских слов, ср.: ворог – враг, город – град, золото – злато, голова – глава, болото – блато, берег – брег, шелом – шлем и т. п. (в лингвистике это наличие графической последовательности оро, оло, ере, ело в русских словах называется полногласием). В таких словах, действительно, пишется -оло-, -оро-, но это лишь закономерность, характерная для ограниченной группы слов и вызванная историческими процессами в языке.

 Падь - в Сибири и на Дальнем Востоке - глубокая, часто залесенная горная долина.  Падь - в Западной Сибири - болото на обширной, пониженной равнине в лесу.

Предположительно, исторически связано с глаголом падать.