Употребление слова ядерный в значении 'центральный, важнейший, главный' стало привычным, поэтому кавычки не нужны.
Корректное оформление: 4-ядерный. Может быть, лучше написать буквами: четырехъядерный.
Правильно: четырехъядерный. Написание можно проверить в «Искать на Грамоте», набрав *ядерный.
Правильно: двухъядерный и 2-ядерный.
Правильно: двухъядерный. В сложных словах после начальных частей двух-, трех-, четырех- перед буквами Я, Ю, Ё, Е пишется Ъ.
Верно: Сторонники единой Кореи грезят, что она будет иметь ядерное вооружение, как КНДР, и будет богатой, как Сеул.