Запятая перед сочинительным союзом, соединяющим два вопросительных предложения, не нужна. См. пункт 5 параграфа 112 «Полного академического справочника» под ред. В. В. Лопатина (М., 2006 и след.).

Правильно: в теплой ванне (в емкости с теплой водой). В теплой ванной означает "в теплом помещении с ванной". 

Лучше использовать форму единственного числа (как Вы написали).

Ставится тире: Обещать – не значит жениться.

Верно: оружием мериться мы не будем.

Возможно: впечатления чего, о чем и от чего.

В Вашем предложении употреблена составная форма будущего времени. Она образуется с помощью глагола быть в личной форме и инфинитива. В инфинитиве пишется мягкий знак, поэтому правилен первый вариант. 

Эта аббревиатура склоняется. Правильно: лечиться от СПИДа.

Запятая нужна, поскольку оставаясь дома — деепричастный оборот.