На качелях обычно качаются, на каруселях - катаются.
Использование кавычек факультативно.
Знаки препинания стоят верно.
Следует поставить запятую или тире.
Тире ставится, если первая часть бессоюзного сложного предложения обозначает условие совершения действия, о котором говорится во второй части (в начале первой части можно добавить союз если): Любишь кататься — люби и саночки возить. Ср. в других пословицах: Назвался груздем — полезай в кузов. Взялся за гуж — не говори, что не дюж.
Да, запятая нужна.
Да, это грамотное выражение, его можно использовать (в том числе в СМИ).