Это дополнение. Инфинитив (читать) может быть частью сказуемого, только если глагол в личной форме имеет модальное или фазовое значение: хочу (могу) читать, начал читать.
Оба варианта возможны, но устойчивое сочетание: читать стихотворение.
Корректно: читать в интернете / Интернете, прочитал в интернете / Интернете.
Правильно: читать «Евгения Онегина».
"Читать мораль" в значении "поучать, наставлять" - корректное сочетание. В словарях оно отмечается как разговорное.
Толковые словари фиксируют устойчивое выражение читать между строк, означающее 'догадываться о скрытом смысле написанного'.
Корректно: читать "Обломова", читать "Отцов и детей".
Нет, верно: начать учиться читать.
Верно: читать материалы разной тематики.