Есть слово бражничать. Возможно, найдутся и другие, их можно поискать в «Академосе» по запросу *ничать. Слова, которые Вы приводите, можно назвать потенциальными. Они образованы по существующей в языке модели и будут понятны в речи, несмотря на то что в словарях они не фиксируются.
Возможны оба варианта.
Чайку здесь – особая форма родительного падежа со значением ограниченного количества. См. также ответ на вопрос № 264234.