Правильно: достичь цели.
Сочетание выполнить цель некорректно. Корректно: выполнить задачу, достичь цели.
Верно: достигли цели.
Правильно: по достижении цели (в значении «после достижения»).
Правильно только: достичь поставленной цели.
Правильно: воспитательная цель.
Верно во всех значениях: устранить цели.
Правильное управление: достигнуть (достичь) чего-либо, т. е. своей достигнув цели.
У этих предложений разный смысл. В первом есть противопоставление (цель не в том, чтобы нарушить, а в том, чтобы исполнить), во втором нет противопоставления (цель в том, чтобы не нарушить и при этом исполнить).