Варианты корректные. Как можно предположить, существительные с предлогом заменяют словосочетания типа финальные соревнования, финальный турнир, финальная встреча и т. п. При выборе вариантов стоит принять во внимание то, с каким словосочетанием они соотносятся.
Корректно: в Костроме, в городе Костроме.
Существительное четвертьфинал мужского рода: состоялся четвертьфинал.
Предпочтительно не склонять.
Верен второй вариант.