Возможны оба варианта.

Это сочетание пишется строчными: муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение.

Как название организационной формы: муниципальное образовательное учреждение. Но и второй вариант встречается.

Верно: ... - одна из лучших клиник.

Обычно подобные случаи оформляют так: учреждение "Название" для людей, нуждающихся... В приведенном примере, на наш взгляд, есть избыточность, поэтому слова нуждающихся в медико-психологической помощи вне названия учреждения следует опустить.

Верно: Государственное образовательное учреждение начального профессионального образования «Профессиональное училище №.. Московской области».

Согласование по слову учреждение: Учреждение дополнительного образования детей «Центр образования» провело... Ср.: кинотеатр «Победа» открылся (не открылась).