Верно: оружием мериться мы не будем.
Оба варианта правильны: удариться о металлические качели и удариться об металлические качели.
Эти слова имеют разное значение. Выберите то, которое подходит по контексту: компетентность – обладание необходимыми знаниями, осведомленность; компетенция – круг полномочий, вопросов, подлежащих чьему-то ведению.
Правильно: помериться силой и силами.
Составной союз для того чтобы может расчленяться и в начале, и в середине предложения. См. «Справочник по пунктуации».
Запятая не ставится, если части сложносочиненного предложения объединены вопросительной интонацией. Верно: помериться, мериться.