Правильно: будет увеличиваться количество направлений.

Извините за задержку с ответом. И количество, и число кого-чего-либо может и увеличиваться, и расти. Приведенные Вами сочетания корректны.

К сожалению, обе фразы некорректны. Можно сказать: русскому языку начинают отдавать предпочтение.

Верно: средний чек увеличивается.

Правильно раздельное написание: еще не окрепшие птенцы.

В школе при синтаксическом разборе предложения для выделения предлогов используются разные приемы. Предлог может подчеркиваться так же, как член предложения, к которому он относится. Например, в приведенном Вами предложении сочетание в продолжение времени является обстоятельством, его можно подчеркнуть тире с точками. Другой распространенный вариант – заключение предлогов в треугольник. Конечно, треугольник в данном случае получается весьма кривой.