Московская электронная школа как название организации, электронного ресурса, проекта правильно писать с заглавной буквы. Но теоретически это сочетание может быть использовано и не как название, тогда его нужно писать со строчной буквы. 

В указанном месте находится так называемый стык союзов. Запятая в таких случаях ставится или не ставится в зависимости от того, следует ли далее одиночный или двойной союз; см. параграф 123 «Полного академического справочника» под ред. В. В. Лопатина (М., 2006 и след.). Союз когда одиночный (теоретически при нем могла бы быть вторая часть то), а значит, запятая нужна: Ведь мы забываем, что, когда мы кушаем, через некоторое время то, что мы кушаем, становится частью нас.

Причастие брошенный образовано от глагола совершенного вида бросить. От глагола несовершенного вида бросать теоретически возможно не употребимое в речи причастие *бросаный; сравним приставочные образования совершенного вида: набросать — набросанный (например: набросанные в корзину шишки). 

Использование двоеточия обязательно: нужно показать, что вопросительным предложением является не вся конструкция, а только её последняя часть. При этом заключать вопрос в кавычки не требуется: И когда в начале декабря, как я и предполагал, он поднял этот вопрос, я подумал: а почему бы нет? См. о таких случаях параграф 44.5 справочника по пунктуации Д. Э. Розенталя.

Наречное выражение, о котором Вы спрашиваете, должно писаться раздельно. Оно соответствует правилу. См. также словарную фиксацию.

Теоретически может быть и то, и другое. Выбор знака за автором. Но, судя по интонации, авторскому замыслу соответствует дефис. Слово город выступает как определяемое, а сказка и мечта как приложения.

Храбрость — отвлеченное существительное. Такие слова обычно употребляются только в единственном числе. Формы множественного числа теоретически могут быть образованы, но на практике они не применяются.

В правилах пунктуации описываются предложения с двумя «стыкующимися» союзами (или союзом и союзным словом). Предложения с тремя союзами, стоящими подряд, редки (напр.: Если оценивать его как произведение современного искусства, то он для этого слишком декоративен, а если как декоративного, то к чему он?). 

Теоретически здесь возможны варианты написания в зависимости от смысла, который вкладывает автор текста. Наиболее вероятный вариант: Так же, не чиня грабежей, шли... (в значении 'Точно так же, то есть не чиня грабежей, шли...')

На практике - именно так, хотя теоретически в обоих случаях можно использовать либо опустить предлог.