Название приложения уместно заключить в кавычки.
Названия «Инстаграм» и «Телеграм» без родового слова употребляются как существительные мужского рода и изменяются по второму склонению.
Норма употребления для слова Телеграм не установлена, но полагаем, что склонение его в русском языке вполне закономерно: в Телеграме.
Возможны оба варианта — ровно так же, как правильно и сюжет в телепередаче, и сюжет по телевидению.
Нет, проверочное слово - телеЖек.
Можно сказать, что это слово устаревающее. В России телеграфная связь еще действует, поэтому назвать телеграф историзмом для русского языка в целом пока рано.