Запятая нужна: всяк сюда входящий – обращение, его нужно отделить запятой.

Запятая не нужна, но надо поставить тире: Девица голосила: «Иди сюда!» – и пыталась поймать кота.

Внутри такого рода выражений фразеологического характера с двумя повторяющимися союзами и…и, ни…ни, которые соединяют слова с противоположным значением, запятая не ставится: и туда и сюда; и там и здесь.

Правильно: Каждый, попавший сюда со стороны, подвергался проверке.

Правильно: Сколько бы я сюда ни приходила, я всегда...

Фраза эта обычно приводится с запятой: слова всяк сюда входящий обособляются как обращение (к тем, кто входит во врата ада). Но можно обосновать и отсутствие запятой: запятую допустимо не ставить, если считать, что в этой фразе заложено значение пожелания (пусть оставит надежду всяк сюда входящий).

Правильно слитное написание, кавычки не нужны: сюда лучше приезжать в несезон.

В данном случае солнце является обращением. Этот пример отличается от примера из вопроса 311446 тем, что предложение с прилагательным глупенькая грамматически правильно построено и в том случае, если о Катюше говорится в третьем лице: Катюша не тот месяц в календаре открыла, глупенькая. С существительным солнце это невозможно, сравним: *Виталик, солнце, уже пришёл сюда.