Корректно: сеть Интернет (интернет).
Правильно: сеть кофеен.
Правильно: быть плодОм.
Тире не требуется, если перед словом здорово нет паузы. Если пауза есть, тире надо поставить.
Такие сочетания корректны.
Смысл в том, что служб несколько и они образуют сеть? Или у ветеринарной службы (одной) есть сеть филиалов?