Верно: учиться этой специальности, обучаться по специальности, приобретать специальность.
Верен первый вариант.
Правильно: мучиться (неопределенная форма); мучится и допустимо в разговорной речи мучается (форма 3-го лица ед. числа).
Здесь правильно раздельно: и так.
См. в «Письмовнике».