Верно со строчной: исторический факультет.
Правильно: Государственный исторический музей, при неофициальном употреблении: Исторический музей.
См. в «Справочнике по фразеологии».
Это выражение не будет вполне корректным синонимом к "дому престарелых".
У этих прилагательных разное значение. Готский – от готы (группа древнегерманских племен), например: готский язык (язык готов). Готический – от готика (архитектурный стиль европейского Средневековья, характеризующийся остроконечными сооружениями, стрельчатыми сводами, обилием витражей и скульптурного орнамента), например: готический храм, готическая арка, готический стиль, также: готический шрифт (латинское письмо с угловатыми и заострёнными буквами).