В подписи сначала указываются инициалы, затем фамилия.
Пунктуационно верно: Несмотря на наше огромное желание, мы должны сначала...
Верно слитное написание: ...и сначала стали жить (=снова).
Сочетание сначала начал речь не красит. Возможно: Первым начал петь Павлик. Сначала запел Павлик.
Ирина посмотрела сначала на неё, затем на остальных и сказала...
Верно: начнем сначала.
Предлагаем оформить так: Он сначала возмущался, вроде «Да что ты понимаешь!», а потом соглашался. Или так: Он сначала возмущался: «Да что ты понимаешь!», а потом соглашался.