Верно: не режет слух.
Действительно, переносное значение глагола резать 'производить неприятное впечатление чем-либо, вызывать неприятные ощущения' в оборотах резать глаз и резать ухо основано на прямом значении, поэтому логично употребление в них слов, обозначающих части тела. Однако в словарях русского языка зафиксированы оба выражения: резать ухо и резать слух, оба они признаются верными. Оборот резать слух основан на метонимическом переносе: орган – функция этого органа.
Ставится запятая: Чтобы сберечь слух, дайте отдых своим ушам.
На слух (т. е. без контекста) это сделать невозможно. Слова "будем откровенны" вводными не являются, они представляют собой семантически и синтаксически завершенное предложение.
Закрывающий обзор капот не давал мне разглядеть происходящее, но разрезающий слух вопль вполне справлялся с этой задачей.
Запятые не нужны: Если вдруг пройдет слух, что Незнайка оказался на Луне и что Знайка тоже собирается туда отправиться...
Ложусь напрасно режет слух, это не ошибка. Ложусь – форма глагола ложиться, этот глагол (в отличие от ложить) входит в состав современного русского литературного языка.
Оба предлога есть в русском языке, оба нормативны. Разве что вне зависимости от... имеет книжный оттенок, тогда как независимо от... более нейтральный.
Резать может и слух, и ухо, в словарях зафиксированы оба сочетания.
Действительно, режет слух, потому что один глагол – смотрел – несовершенного вида, а другой глагол – убили – совершенного вида. Следует заменить один из глаголов. Корректные варианты: Весь мир смотрел, как нас убивали и Весь мир увидел, как нас убили.
Запятая после тире стоять не может. Возможен такой вариант пунктуационного оформления: Даже не нужно верить, что кто-то воспринял слух всерьез, достаточно лишь просто это предположить, результат между тем будет все тот же, а именно – дефицит туалетной бумаги.