Правильно: конский след (в знач. "свойственный коню").
Правильно: следуя успешному размещению...
Да, слово учёба является исключением, его написание нужно запомнить.
Кавычки не нужны.
Правильно: диван, покрытый пледом.
Кавычки не нужны: раскрытие преступлений по горячим следам.