Дело в том, что СИ — это не сокращение полного названия, а транскрипция аббревиатуры SI (Le Système international d’unité — Международная система единиц). Так что сочетание система СИ можно признать допустимым. 

Да, это имена существительные среднего рода.

Точки не ставятся (по общему правилу).

Восвояси появилось в результате сращения в одно слово сочетания во своя си «к себе» (своя здесь – форма винительного падежа мн. числа среднего рода, а си – усилительная частица). Это выражение – калька со старославянского, а в старославянском, в свою очередь, – из греческого.

Штуку можно считать единицей измерения только в житейском плане. В правиле говорится о написании «официальных» единиц измерения, т. е. входящих в систему СИ.

К сожалению, каких-либо общих рекомендаций на этот счет нет. По-русски принято писать точку после графических сокращений, поэтому лучше: Л. Л. Кул Дж. и т. п.

Восвояси – предположительно, сращение в одно слово словосочетания во своя вьси «в свои деревни, домой» или оборота во своя си «к себе». Восходит к древнерусскому языку.

Словарная фиксация недавно заимствованных слов может изменяться, это нормальный процесс. Хорошо иллюстрирует колебания в кодификации нормы забавная техническая ошибка в печатной версии «Русского орфографического словаря». В нем зафиксированы сразу две статьи: 1) су/ши и су/си, нескл., с. (кулин.) и 2) суши/, нескл., с. (кулин.). Очевидно, это произошло из-за того, что составители словаря до последнего сомневались в выборе варианта, в результате в словаре оказались обе статьи. Мы спросили ответственного редактора словаря В. В. Лопатина, какой же из них верить. Вот его рекомендация: ударение следует ставить на первом слоге. Вторая, ошибочная статья (суши/) при переиздании словаря будет из него удалена.

Корректно: до-диез, си-бемоль, до-диез минор, до-диез минора, до-диез-минорный. Подробнее см. в окне «Искать на Грамоте».

Корректно: учения «Си Бриз – 2007».