Да, это корректное сочетание.
Правильно: служить Отечеству, служить на благо Отечества.
Корректно: Я бы советовал молодежи служить в армии; Я бы советовал молодежи идти в армию.
Такое сочетание нельзя признать корректным.
Верно: складывать дроби, сложить дроби. Третий приведенный вариант неверен.
Это синонимы. Корректны оба варианта.
Правильно: служить Родине-матери.