У Нью-Йорка есть прозвище – "Большое яблоко". Словарной фиксации этого выражения нет. По общему правилу в образных названиях государств и городов с прописной буквы пишется первое слово (которое может быть единственным), а также (если они есть) собственные имена. Поэтому корректно: "Большое яблоко" или Город большого яблока (ср. с другим известным названием Нью-Йорка – Город желтого дьявола). Интересна история возникновения этого ...

...Как сообщает сайт about.newyork.ru, прозвище "big apple" ("Большое яблоко") пришло из сленга джазовых музыкантов....

...Город большого яблока...

Какие требования предъявляются к сокращениям?  Сокращения должны быть понятны читателю. Большое число необщепринятых сокращений затрудняет чтение текста. При усечении слова оставшаяся часть должна позволять легко и безошибочно восстанавливать полное слово, например: филос., филол., не фил. Нежелательны сокращения, совпадающие по написанию с другими. Такие сокращения допустимы только в том случае, если контекст подсказывает, какое именно слово или словосочетание сокращено.

...Ивановой. 4-е изд., М., 2012; www.sokr.ru — сайт, посвященный сокращениям и аббревиатурам. Приводим список некоторых общепринятых сокращений: адм.-терр. административно-территориальный акад. академик, академия а. л. и авт. л....

...Как правильно сокращать слова?...