Верно: российский Кавказ.

Правильно: российский производитель.

Написание со строчной: российский рубль, американский рынок. В составе собственных наименований, в названиях учреждений, организаций, обществ пишется, как правило, прописная: Российская академия наук, фильм «Американский пирог».

Верно: российский МИД.

Логичным было бы такое написание: Российский чемпионат по ралли-рейдам.

Правильно: российский флот (неофициальное название), но: Военно-Морской Флот РФ (официальное наименование).

Названия такого типа (реальные собственные имена) заключаются в кавычки только в тех случаях, когда они употребляются в сочетании с родовым наименованием (чаще всего – обозначением организационно-правовой формы). Ср.: Московский городской педагогический университет и ГБОУ ВПО «Московский городской педагогический университет». Название Российский фонд прямых инвестиций пишется без кавычек, но если оно употребляется в сочетании с родовым словом, то кавычки нужны. См. подробнее: Как правильно употреблять кавычки (часть вторая).

См. в «Словаре трудностей»: Российский и русский.