Стилистически нейтральный вариант: рапорты. Вариант рапорта разговорный.
Правильно: о не совсем благочинных... Следует отметить, что слово благочинный сопровождается в словарях пометой устар. (устаревшее), в современной официально-деловой речи его употребление вряд ли оправданно.
Форма рапорта не является просторечной. Словари признают этот вариант допустимым, его употребление не является нарушением нормы литературного языка.
Пожалуйста, воспользуйтесь окном «Искать на Грамоте» (а именно толково-словообразовательным словарём).