Орфографически всё правильно, но грамматически верно не борьба против рака, а борьба с раком; Всемирный день борьбы с раком.
Нет. Лат. panacea - лекарство от всех болезней (не только от рака).
Корректно: При этом типе рака пересадка печени — единственный выход.