Запятая перед и не требуется: Вчера она написала мне, что рано утром прилетает в Москву и что я должен встретить ее.
В этом предложении неверно использован деепричастный оборот. Возможный вариант: Как правило, когда вы прилетаете в другую страну, у вас нет там знакомых.
Правильно: по окончании (=после окончания).
Правильно: прилагать усилия. С глаголом совершенного вида приложить в значении 'направить действие чего-л. на что-л., применить' соотносится глагол несовершенного вида прилагать.
Верно: старались не привлекать внимания.