В значении "ухаживать" – подбивать клинья.
Запятая не нужна. Однородные члены – возьму и стану прибивать.
Побывать = посетить (побывать за рубежом). Побыть = быть некоторое время (побыть ответственным).
Название нужно писать так, как оно записано в уставных документах.
Правильно: побывать в святых местах.
Такое выражение возможно в разговорной речи.