В использовании кавычек нет необходимости.
Лучше использовать кавычки разного рисунка. Предпочтительно: Некоммерческая организация «ПИК "Строим вместе"». Допустимо: Некоммерческая организация "ПИК "Строим вместе".
Склонять нужно: председатель Союза потребительских обществ — Респотребсоюза.