Оба варианта корректны, выбор зависит от смысла и контекста.
Верные варианты: последнего полугода, последнего полугодия. Обратите внимание, что полугодием обычно называют период с января по июнь или с июля по декабрь.
Сочетание первое полугодие корректно.
Пол- (половина) с последующим родительным падежом существительного пишется слитно, если существительное начинается с согласной буквы (кроме л).
Пишется в кавычках: полигон "Кучино".