В других падежах используется форма полставки: устроиться на полставки, отказаться от полставки.
Правильно: работает на полставке.
Со словом "центр" используется предлог В: поставка в РЦ (центр).
Общего правила нет. Существительные, обозначающие род деятельности, чаще употребляются в форме ед. ч.
Лучше: доставка в регионы.