Верно: тысяче богов, тысячам богов.
Верно: появиться ниоткуда. У Бродского: "Ниоткуда с любовью...".
Выбор предлога зависит от контекста. Примеры см. в словарях.
Помнится – это глагол (форма 3-го лица ед. числа). В приведенном Вами контексте он употребляется в функции вводного слова.
Оба варианта верны.
В значении "сбрить все волосы" такое сочетание может употребляться в разговорной речи.
Корректно: молиться о чем (о здравии, о мире, о спасении и т. д.), молиться за кого-что. Молиться за Украину - корректное сочетание.
Верно: может получиться.