Это краткое причастие.
Лучше выбрать первый вариант: Остальных подростков зовут Лиам и Чарльз по прозвищу Пончик.
Запятая перед по прозвищу ставится или нет в зависимости от интонации. Дело в том, что приложение, присоединяемое словами по прозвищу, может выделяться запятыми, если нужно передать соответствующую интонацию. Если интонации обособления нет, запятая не нужна.
Правильно: пикник за городом.
Мужская фамилия Петрик склоняется: Петрика, Петрику и т. д. Женская фамилия Петрик несклоняема.
Мужская фамилия склоняется, женская – нет.
Да, в таком предложении тире нужно.
Если речь о ванной комнате, то правильно: коврик для ванной.