Лучше: подписаться под заявлением, расписаться на заявлении, поставить подпись в заявлении.
Первое слово стилистически нейтральное, второе — разговорное.
Правильно: подвизаться.
Под гору означает спускаться. Под гору – вниз, в гору – наверх.
Правильно слитное написание. См. окно «Искать на Грамоте».
"Подвизаться" сопоставимо с "подвигом".
Употребительно: подняться на лифте, воспользоваться лифтом. Но: курить в лифте.
По основному правилу тире не требуется.
Вообще говоря, сочетание "родители первого класса" звучит странно. Лучше переформулировать: ученики первого класса и их родители.