Правильно: подвизаться. 

"Подвизаться" сопоставимо с "подвигом".

Первое слово стилистически нейтральное, второе — разговорное. 

Лучше: подписаться под заявлением, расписаться на заявлении, поставить подпись в заявлении.

Под гору означает спускаться. Под гору – вниз, в гору – наверх.

Например: с какой целью? зачем?

Предложение лучше разделить на два. Возможный вариант пунктуации: Фильм Томнэя пронизан весельем, но не бурным, а простым. Это как если вдруг захотелось подвигаться на кухне под доносящуюся из радио ритмичную музычку ― и танцуешь по воле сердца, и есть железное этому объяснение: у тебя просто хорошее настроение.

Употребительно: подняться на лифте, воспользоваться лифтом. Но: курить в лифте.

По основному правилу тире не требуется.

Правильно слитное написание. См. окно «Искать на Грамоте».