Правильно: подписать договОры.
В значении "ухаживать" – подбивать клинья.
Возможны варианты пунктуационного оформления. Место запятой зависит от того, где ставится интонационная пауза.
Правильно: подписать (несколько, ряд, папку) счетов-фактур.
Варианты двухребордный и двуребордный пока что не получили словарной фиксации. Теоретически возможны оба варианта, нужно выбрать более частотный и уважаемый соответствующими специалистами.
Здесь нужен предлог "на".
Эта мужская фамилия склоняется: ученика Габеркорна Артёма.
Если имеется в виду "сведения о заключении договоров", то верно: сведения по заключению договоров. Если имеется в виду "подавать сведения после заключения договоров", то верно: ...по заключении договоров.