Правильно: класть (несовершенный вид, что делать?) – положить (совершенный вид, что сделать?). Глагола покласть нет в русском литературном языке.
Верно: попить чайку.
Оба варианта не соответствуют литературной норме.
Верно: Можно я пойду попить воды?
См. ответ № 190873.
Верно без предлога.