Тремпель - это вешалка ("плечики"), областное слово.
По сведениям "Википедии", Тремпель — немец, фабрикант готового платья в Харькове в XIX веке. Каждое его изделие висело на плечиках, на которых был ярлык его фирмы «Тремпель». Потому по всей Южной России вешалки для костюмов (плечики) стали называть тремпелями.
Корректно: Уйти на охоту, перекинув ружье через плечо.
Оба сочетания верны, но это разные способы носить сумку.
Да, тире избыточно (во всех трех случаях).