Оба варианта возможны. См. в «Письмовнике»: Единственное и множественное число сказуемого.
ИА - это информационное агентство? Тогда верно: писало.
Корректно: пребудут навсегда. (Пребывать — неизменно оставаться, сохраняться.)
Оба варианта корректны, важно, чтобы во всем тексте употреблялась только одна из этих форм.
Для слова заведующий существует женский вариант заведующая. См. также: 89">http://gramota.ru/spravka/letters/?rub=rubric89.
Корректно: буллинг, лайфхаки.
Заголовки пишутся с большой буквы, точка после заголовка не ставится.