Да, эта мужская фамилия склоняется. Возможно адъективное склонение (по образцу прилагательных, как, например, слово карий: Парего, Парему и т. д.) и субстантивное склонение (по образцу существительных, как, например, слово кий: Пария, Парию и т. д.). Здесь право выбора типа склонения – за носителем фамилии.

Мужскую фамилию Палий нужно склонять.

Гласный при склонении не выпадает: Вацлава Гавела, Вацлаву Гавелу и т. д.

Слово давай используется здесь в значении частицы. Оно сочетается с инфинитивом глагола несовершенного вида (давай мириться) или с формой 1-го лица множественного числа будущего времени (давай помиримся) и выражает приглашение к совместному действию или побуждение к действию.

Корректно: проверка знания Правил.

Правильно без кавычек: наука правит бал.

Запятая обязательна.