Употребительны варианты: заточить, наточить, поточить, отточить карандаш (но: отточенный карандаш в значении "предельно острый").
Верно: попить чайку.
Верно: Можно я пойду попить воды?
Вы написали правильно.
Это невозможно, так как глагол несовершенного вида. Можно образовать деепричастие совершенного вида от слова отвести: отведя.
Ваши сомнения оправданны (см. здесь).