Закидать шапками (ирон.) – победить врагов без особых усилий, благодаря своей многочисленности. Это выражение активизировалось в период русско-японской войны (1904–1905): в начале войны черносотенно-националистическая пресса потешалась над японскими войсками, уверяя, что русская армия легко одолеет врага. Однако неподготовленность России к войне и бездарность военачальников привели к поражению, и тогда оборот сделался ироническим определением глупой самонадеянности и бравады.

...Бросать шапку оземь было на Руси своего рода национальным обычаем, выражавшим и досаду, и веселье....

...Закидать шапками...

§ 83. Пишутся слитно: 1. Наречия, образованные соединением предлогов с наречиями, например: доныне, извне, навсегда, напротив, насквозь, позавчера, послезавтра, донельзя, навряд ли, задаром. От таких наречий следует отличать пишущиеся раздельно сочетания предлогов с неизменяемыми словами, употребляемыми в этих случаях в значении существительных, например: до завтра, на авось, на нет (свести на нет), на ура. 2. Наречия, образованные соединением предлогов 

...наперекор, навзничь, навзрыд, навыворот, назади, наземь, наизусть, наискосок, наискось, наобум, наотмашь, наперегонки, наперекор, наперерез, наперечет, наповал, напрямик, нарасхват, наружу, насмарку, настежь, настороже, натощак, наугад, наутек, начеку, наяву, невдомек, невзначай, невмоготу, невпопад, оземь...

...V. Наречия...