Оба варианта некорректны. Верно: уложиться во время.

Такое употребление некорректно.

Правильно: ложись.

Сам по себе корень употребляться не может; можно говорить о допустимости / недопустимости употребления слова с этим корнем. Глагол ложиться (форма повелительного наклонения этого глагола – ложись) входит в состав современного русского литературного языка, а вот глагол ложить – нет, т. е. употребление слова ложить в речи грамотного человека недопустимо.

Что Вас смущает в этом глаголе? Какие затруднения возникают с его употреблением?

Такая формулировка возможна. Может быть, лучше: Куда ставить (класть) папки?

Можно, хотя это выражение и не является устойчивым.

Глагол ложиться входит в состав русского литературного языка, он стилистически нейтральный и может свободно употребляться в любых контекстах. Все запреты, связанные с глаголом ложить, на глагол ложиться не распространяются.

Букву Ё нужно писать только в тех случаях, когда написание через Е может помешать правильному прочтению слова (например, это все вместо это всё).