Правильно: Минобразования Амурской области.
В принципе возможны оба наименования.
Правильно: обучался в Самарском областном институте, с родовым наименованием ГОУ название заключается в кавычки и не склоняется: обучался в ГОУ «Самарский областной институт».
Верно: Государственное образовательное учреждение начального профессионального образования «Профессиональное училище №.. Московской области».
Корректно: областная дума. В официальных названиях первое слово пишется с прописной буквы: Саратовская областная дума.
Верно: в области логистики.
Корректно: боец ОМОНа, сотрудник МУП. Подробнее см. в «Письмовнике».