Верно без предлога: богата чем.
Правильно: род. – Лопаты, дат. – Лопате, вин. – Лопату, твор. – Лопатой, предл. – (о) Лопате.
Правильно: к обеим ногам.
Правильно: Патетическая соната Бетховена.
Тире нужно: Не жили богато — нечего начинать.
Знаки препинания расставлены верно.
Правильно: «Крейцерова соната».
Эти фамилии склоняются (и мужские, и женские), как соответствующие нарицательные существительные.