На двигателе (каком?) обеспечивающем. В предложном падеже у прилагательных и причастий окончание либо -ом, либо -ем (см., например, таблицу склонения в учебнике Е. И. Литневской на нашем портале).

Сложно ответить вне контекста. Сочетание в свою очередь обособляется как вводное, если указывает на то, что данное высказывание связано по смыслу с предшествующим. Если же в свою очередь используется в значениях «со своей стороны, в ответ, когда наступила очередь», тогда запятые не нужны.

Корректно: Многие подразумевают под этими словами понятие «финансовая независимость».

Название движения следует писать в кавычках.

В названиях войн с прописной буквы, как правило,  пишется первое слово и входящие в состав названия имена собственные: Японо-китайская война, Русско-японская война, Англо-бурская война, Первая мировая война, Вторая мировая война, Война за независимость (в США), Война Алой и Белой розы, Война Севера и Юга (в США).

Правильное написание предлога: вне зависимости от: поедем на дачу вне зависимости от погоды. Но: в независимости – сочетание предлога в и существительного независимость: каталонцы видят много плюсов в независимости от Испании.

Вы правы. Верно: вне зависимости от своего пола. Предлог пишется именно так: вне зависимости от (чего-либо) (см. словарную фиксацию). Но: в независимости – сочетание предлога в и существительного независимость, например: каталонцы видят много плюсов в независимости от Испании.

Да, грамотно.

Формально (с точки зрения «традиционной» академической грамматики) подлежащим в предложении является то, что выражено именительным падежом, а не то, что выражено формой косвенного падежа. В предложении Я люблю кофе подлежащее я, а кофе – дополнение; в предложении Мне нравится кофе подлежащее кофе, а мне – дополнение. Ср. такой пример: в предложении Саша не спит подлежащее Саша, а в предложении Саше не спится подлежащего нет, это односоставное предложение, а Саше здесь – второстепенный член предложения.

В то же время лингвисты – сторонники коммуникативного подхода к грамматическому строю русского языка (коммуникативная грамматика – относительно недавнее направление в лингвистической науке) скажут, что предложение Саше не спится – это инволюнтивная модификация обычного номинативно-глагольного предложения Саша не спит. Слово инволюнтивная означает, что грамматическое значение этой модификации – независимость предикативного признака от воли субъекта. Субъект же везде один – Саша. Предложение Мне нравится кофе тоже представляет собой модификацию (иного рода) предложения Я люблю кофе – в обоих случаях субъект – я, объект – кофе.

Правильное написание предлога: вне зависимости от: поедем на дачу вне зависимости от погоды. Но: в независимости – сочетание предлога в и существительного независимость: в независимости тоже есть свои плюсы.