Верная пунктуация: Ты что же, в искусстве разбираешься? Ты что, навещал ее?
Если у них один и тот же домашний врач, следует использовать форму единственного числа. Если разные — множественного.
Запятая нужна перед союзом и, чтобы разделить части сложносочиненного предложения.
Предложения написаны верно.
1. Правильно без запятых: ...я чуть было не ляпнула...
2. Не нужно.