Слово кафе заимствовано из французского языка. В заимствованных словах перед звуком [э] может произноситься как мягкий согласный звук (пике, тетрадь, демократ, эпидемия), так и твердый (карате, варьете, пенсне, пюре, теннис, идентификация, дзен). В первом случае буква е обозначает мягкость предшествующего согласного, во втором — нет. Заимствованные слова имеют тенденцию к смягчению согласного перед [э], так как в русских словах перед [э] произносится только мягкий согласный. Например, раньше слово музей произносилось с сочетанием [зэ], а теперь с [з'э]. Произношение некоторых заимствованных слов сейчас колеблется. Так, произносятся вариативно и с твердым, и с мягким согласным перед [э] слова бассейн, сейф, кемпинг. Написание буквы е после согласных в заимствованных словах не препятствует их фонетическим изменениям в соответствии с закономерностями русской фонетики.

Мягкий знак нужен, его легко проверить по вопросу: будут (что делать?) проводиться или определив форму глагола — составное будущее время (глагол быть в личной форме + инфинитив).

Предложение безличное, то есть такое, в котором подлежащее в им. падеже отсутствует и добавить его невозможно, действие происходит само по себе. Форма глагола в безличном предложении совпадает с формой 3-го лица ед. числа, в которой мягкий знак не пишется. Ср.: он (что делает?) приходит в гости, он приходится мне дядей и (мне) приходится видеть. 

Женская фамилия Курилец не склоняется. Склонение мужской фамилии Курилец обязательно. Она может склоняться двояким образом. Предпочтительно склонять фамилию без выпадения гласного: Курилец, Курилеца, Курилецу, Курилеца, Курилецем, о Курилеце. Допустимо также склонение с выпадением гласного: Курилец, Курильца, Курильцу, Курильца, Курильцем (или Курильцом – в зависимости от ударения), о Курильце. Тип склонения вправе выбрать носитель фамилии.

Правильно: Без углов дом не строится, без пословиц речь не молвится. Форма 3-го лица глагола (что делает?) пишется без мягкого знака.

В Вашем предложении употреблена составная форма будущего времени. Она образуется с помощью глагола быть в личной форме и инфинитива. В инфинитиве пишется мягкий знак, поэтому правилен первый вариант. 

Запятая перед союзом и не нужна.

В соответствии с литературной нормой первый звук должен быть мягким или полумягким. В слове происходит ассимиляция (уподобление звуков) по мягкости, так как второй согласный мягкий. 

Спасибо, ответ дополнили.

Мягкий знак не нужен: хорош мусорить.