Правильно: из Москвы, в г. Москве.
См. в Горячей десятке вопросов.
Корректно: мэр Москвы, мэр города Москвы.
Сочетание Москва-река пишется через дефис, при этом первую часть названия можно склонять, но можно и оставить несклоняемой.
Верно: поеду в город Москву. Но лучше в этом предложении слово город не употреблять: Поеду в Москву.